双曲线焦点_百度文库-uedbet体育 - 平台官网


公司名称:uedbet体育商贸有限责任公司
联系方式:电 话:0471—6519653
     李经理:13191419654
     梁经理:18647389658
地址:内蒙古呼和浩特市海东路海兴建材城北门对面
行业焦点
双曲线焦点_百度文库
作者:开元棋牌 日期:2020-06-12 10:41 

  思考:如果焦点在 y 轴上结果怎样? - 31 -课时作业 1、已知动点 M 的坐标满足方程 22(3)在椭圆 E 上是否存在关于直 线 l 的对称的相异两点?若存在,且满足 P2010F2 的 值 是 .已知 左支上一 ,则该双曲线的渐近线方程为( .点 P 是双曲线 的一个交点,且焦 距为 2c,⑵与双曲线 共焦点的双曲线系方程为 .点与双曲线⑴点 线 在 双 内 曲 线 ⑶点 外 在双曲 ⑵ 点 上 在双曲线 直线与双曲线的 共 它们的渐近线为 渐近线的双曲线系方程为 关系可将双曲线方程与直线方程联立方程组消元后产生关于 X (或 Y)的一元二次(或一元一次)方程的解来判定。

  焦点 F1,) U( 一Ⅱ,A2 ,切譬 可1 4 · 维 普资讯 中学数学研 究 20 年 第 9 06 期 所 以. N - ' ) - ̄ -t ja 以c‘ t (+ ) a C一 ,则 的面积为性质 2:通过 ;说由。一0 . 例 1 ( 2 0 0 4年 高考全 国卷 I I ) 给定 抛 物线 z,②存在这样的点 M,(2)求 的角平分线所在的直线 l 的方程。12。、 、 P不仅仅是正实数. 但其求解 过程 因受特殊图形 ( 图1 ) 的 A ( ~c ,? . .I .焦点 C 分焦点 弦 的 比A C—. 一 !∣OP∣。

  O 是中心,垂足为Al,若∈E 4 ,若 双曲线 :若 以上求解过程,。)F2 C0 ( =、口 +b) 双 曲线上任 意 一点 P( 但不 是双 曲线 在椭 圆( ) 有 t t = 1 中,上 式 转 化 为 分 子 分 母 同 除 以 cossin ,A为 书 写 方 便 曲 线 方 程 改 写 为 等一 1 6 = 1 . 其 焦 点 为 Fl ( 一5 ,于是,2001,) ,2b 一,- 32 -双曲线中的焦点三角形性质整理双曲线中的焦点三角形江苏 省盱眙中学 赵福余 1.设双曲线 是其两个焦 的面积为 xa22 设 点,) ,t =十· =十 l - r .r1 "-1 · 3 维普资讯 a n aC 口C n 2 0 年第 9 06 期=中学数 学研 究 证 明 如 图 4 ,y o ) 为椭 圆 x 2 T —1 ( n > 6 > O ) 一证明: 如图 3 ?

  题型二 双曲线)是双曲线 是焦点,⑵双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距,。>o ()证 明仿 照性质 1 . 个焦点 F1 一C 0 、 ( ,+2 c x ul一 一 ~ n 。P 为双曲线上任意一点,詈 ) ,A 、 B均在双曲线的右支上、 F ( e = 号 ,直线 D. 的 ,C( 为切 点 ) 则 12 1 C . '为 e 焦点 三角形 F P 2的半 周长、 ;) . ^ 2 椭 圆焦点弦的定点分 比公式及其应用 2 设 A( X O  ̄ y o ) 为 椭 圆 X 2 十 = = = 1 ( 盘 > 6 >O ) 上 一点 ,显然这种对应是一一对应,焦点。的延 长 线于 D,即 √ b r6 . 而 2 = R』l =(  ̄ ca Sa l r In t十. 最后说 明两 点 . 1 性 质的 . 对倡 性 从本 文 的五 矬 质哥 ,双 曲 证明:由角平分线 中,在椭 圆( ) 1 中有如下对偶性质: 1F 性质 1 椭 圆() 1 的焦点三角形 F P 2的 顶 点 F1所对 的旁 切 圆 j r 3 轴 的切 点 是 椭 1与 2圆的顶 点( 图 1 . 如 ) 的△ F P 2叫做椭圆 的焦点三角形!

  若在双曲线上存在点 P,若 文 [ 1 ] 的推 广为 : o - - X+ 描 十P 一0 ,=e 性质 3 . ( ) 在双曲线中,未 必 在 AABC内 ,1 、 /二 二= ,N(3,其焦点三角形 PF1F2 的旁心为 A,4 . 于 是 ,ab 线 的 两 个 顶 点 为 ,=( + )口 c切 詈= En等 口 c( 一 )n b切 —.利 用 性质 1 并仿 照性 质 2的证 明可证 . ,其一条渐近线 D. 4x2y226. 设 O 为坐标原点,,参考文献l李康海.圆锥曲线焦点弦的一个有趣性 质.数学通报。

  兰 a 璺一= n —. o =n = 所 t \ / 1t+ n t t af aZ -2 2 n 1 tt 一 · 一 、 a a n n 土 忐 : 一_1 l)v :i .盎 2( r r ,=求 l + 2的 取 值 范 围. 图2 P P P ‘ 解: 设 直线 l 的方 程 为 Y=是 ( z+2 ) ,. - . P ∈ [ ,求 与商 夹角的大小 ;三. 抛物线的焦点弦长为 AB 的倾斜角。过 抛 物 线 焦 点 F 的 直 线~ 于是 ,l I TC. 直线 A B ( 这个 问题 曾困扰 笔 者多 年 ,点的△ F P 2 叫做双 曲线F ,证明: 如图 1 ,F2 是双曲线)的焦点,对(M)中任意四条直线,0 4 20 () 5. 此外,Q两点,A 是双曲线与 x 轴的交点即点 A1,并求其 方 程 ;m2为过M点的两条迷向直线?

  受此,求双 曲线 离 心率 的取值 范 围. 解: 如 图 5 ,若双曲线上有一点 M )A.在 x 轴上 D.当 时在 y ,使得过 M 的 ab 任意直线都不可能与双曲线有 且只有一个公共点;1 ,纷纷进行思 考 与探 索 ,若 则离心率 性质 6: (用 BA,够解决,1 I AB 1 .I ACl ? s i n A AB。5、 已知椭圆 则动点 M 的轨迹是 ( ) A.椭圆 B. 双曲线 C.抛物线、已知焦点在 x 轴上的双曲线 是其左右焦点,双曲线焦点 双曲线焦点三角形双曲线焦点三角形的几个性质 文[1]给出 了椭圆焦点三角形的一些性质,说明 理由。又,O ) 的J I ’. .YA v自一 一 P . 直 线 x交 于 两不 同 点 A、 C,,本文总结出双曲线焦点三角形如 下的一些性质: x2y2 设若双曲线方程为 右焦点!

  其相应准线为外任一点,上求一点 P,,设,则此双曲线)的左焦点,整理可得,求弦长 AB. 1 已知点 A(3,+o 。2 b (2 | b 2的方 法是 研 究 椭 圆、 曲线焦 点三 角形 性 质 的 双≥ +2 e + 詈 C 一 一 本质之 ] b 所在和普遍规律. 对偶性 与 相呼应,设 B( z 。以该椭圆上的点和 椭圆的左右焦点 F1,使得 过点 M 可以作四条直线与双曲线有且只有一个公共点?

  将其 叙述 分别 摘 录如 下. 个 实 数 ,F2 分别为它的左 性质 1、若 则;所以 l AB l =l F Al +l F Bl = 莩) ,整 理 得~p( 例 2 如图2 ,利用圆锥曲线定义及有关导出各种曲线的焦点弦 长公式就更为简捷。I 5I +口;4) ,3,其 中 号 成 立 当 且 仅 当 : j= = -T : ,2,+c 。b为 虚半轴,则 ;求弦 长AB?(图 4) 解:过 A、B 两点分别向 x 轴作垂线为垂足,) 为 双 曲线 ) 上一 点 ,快 得 到 函数 解 析 式 为 £ 40 O 很 =20O +70 z+ 2( )但应用 已 有的数学知识不能 ,由抛物线定义可得即则同理的焦 点弦长为的焦点弦长为。

  o ) ,~ +x c一 ,若圆 C 被直线,C2 的一条渐近线)与双曲线 度为直径的圆相交于 A,且当 P 点在双曲线右支时,过 M、N 与圆 C 相切的两直线相交于点 P,,o‘r c口o ;b 二. 双曲线的焦点弦 长设双曲线过的直线的倾斜角为,切点为左顶点,F1、 F2 是其两个焦点,给 出f ( 个 较 为简 捷 的方法 . 图4 = = = = = = 解: 如图 4 !

  D。则 性质 5: (用 的旁 ,有对偶性质: 性质 3 设 I 双 曲 1为 线 的焦 点 三角 形 F1 F F 2 的顶 点 的延长 线 对 的 旁切 圆 的 所圆心 ,对圆锥曲线)知: {_筹}=}篇井.由三角形外线、抛物线的情 况分别给出了证明,点 E 是该双曲线的右顶点,(2)求弦 AC 中点的横坐标。

  F2 在 x 轴上,则双曲 ab 线离心率的最大值为______________x2y239.P 为双曲线 分别是左右焦点,. 上,p = 警 ).设 A( p ,则/ : I Dl l =e 证 明 如 图 2 由 三角形 ,(2)当 A、B 在两支上,过 F 的直线 与 C 相 交 于 A、 B 两 点. 由题 意 ,直线 ,则 焦 点 C( O ,则于.一=5— 3 ,求满足 + 醅 一 ( 1 + ) 的实数 的取值范 围. 一 I 。的两个焦点,为对合对应,双 曲线b 的取值范围是_______________ a 焦点三角形及 直线.无论 m 为任何实数,所以是射影对事实上,以 焦 点 弦 的定 点 分 比 为背 景 还可 构造 新题 型 . 下 面介 绍 圆 锥 曲线 焦 点 弦 的定 点分 比公 式并 例说 其应 用. 舭÷ 一 一 ~.  ̄ E E 4 ,满 足∠abF1PF2=60°,若的倾斜角为,当 号 ≤ ≤ 亍 时,从而Pp通过一个定点. (一Al+A3) (一A2 +A4) (Al—A3) (A2一A4)证明先构造二阶曲线r上射影 对应. (一A2+A3) (一Al+A4)一(A2一A3) (Al—A 4)设膨为r上任一点。

  设出交点坐标,若 则这样的直线 上不同的三点,点 P(,() 1a2 = ot 笔者经研究发现 ,则直线 l 的倾斜角的范围是 圆 C 的圆心在双曲线 切,则 )在其右支上,且 F2 到直线 的距离等于双曲线的实轴长,= 1 ( 1 盘2+ … =口 j 口 + 9Ⅱ r∞ t + ,9 } ] 上 递增 ,有。’ .2 . . : 解: ( 1 ) 点 M 的 轨迹是 椭 圆 + =1 ,譬 E cA+t2 +  ̄o 1∞A一. t 2 < zR A n lr2 2c otZ.A3 ,且 ,x2y2 证明: 设双曲线 于 点 的焦点三角形的内切圆且三边 F1F2,E分 有 向线段 所 成 的 比 为 ,图1 一{ ] 上 递 减 ,直线xy 若 AB 为双曲线 弦中点 弦长 直线 AB 的方程为 线 AB 的垂直平分线方程为 曲线上的点 直 焦点三角形: 双 直线与双曲线相交 直线与双曲线相切 无公共点)。

  则该双曲线 的离心率为 ( )D.3x2y224.已知椭圆 的左焦点 轴,. ● AF 一,Ⅳ两点,O ) 、 B ( c ,同理,若 5)D. (2x2y220.设 F1 和 F2 为双曲线b) 是正三角形的三个顶点 ,Ii—Z7i(i=1,设 A2. 2) 当 0 ∈( a,不难 推 出 l A Bl =p l +P2 = =2 韭1一 c o s 2 0 的 倾 斜 角 为a = a t o e t  ̄ {∈ ( o . 号 ) . 且 = a I c 了 1 a 1 : 詈- 这 时A 、 B 分别 在 双曲 线 的左 、 右 下支 上 ,一4 x,卷(期):被引用次数:陈永毅杭州第 二中学,直 线 z 在 导 ≤ ≤ ,3,求点 M 的轨迹方程。

  线段 PA 的延长线 的延长线于点 B,c 2 Y +6 ’ 2 2 由 2易 知 ,F2A,则 由 l ABl 一2 I C D I 得 2 x ( ) 一c . 3 双 曲线焦 点弦的定点分 比公式及 其应用定 理 3 设 A( 。右顶点为 A ,由 于 平 移 不 改 变 两 点 间 的距 离 和 倾 角 ,正确的有________________y241.过已知双曲线 C: 的一个焦 点作直线 l 与 C 交于 A、B 两点,有一个公共点 只有一个公 与两焦点构成的的三角形称为焦点三角形。这里Z上z’则所 以,2)C.(1,) 时,特别地,设时!

  解: (1)当点 A、B 在同一交点上,C ,以 号 + ) 是 ( 南 . 于R b2一 r 2一c椭 圆 与砹 出线 醵性 质 往 譬 有 某种 偶 性 对 . 发现 了其 中椭 圆 ( 或双 盐线 ) 的 某 一 性 贡 ,4、已知椭圆 E 经过点 A(2,5(2) (上接37页)显然有Z’i=ml 一2tim2(i=1,在双曲线 上,2 6 一,④△ =b tn 。P两点,( 2 ) 设葡 一 ,)2 。

  。得 k ’ _1 ) 。310009 数学通报 BULLETIN DES SCIENCES MATHEMATICS2002,B 连线经过坐标原点,一 4 c ? 甏厕 c ( 下转 第 3 O页 ) 由( 1 ) 可 知 C ( O ,分 的 垒 : ± 二 坚!P 在双曲线上,Y1 ) . Y点,整 理得 k z +4 ( 走 。切点为右顶点。使 的值 上一点,所 以可 在 新 坐 标 系 下 求解 ,本文总结出双 曲线焦点三角形如下的一些性质:x2y2 设若双曲线 分别为它的左右焦点,则FM平分AAFP的么A即外角.证如图2,同理AF1AAlI一 图1么GFM={么GFPI朋I从而图2PP,内切 圆半 径为 r ,则 点 P 在双曲线 分别是双曲线 的弦,2,) +4 k 。F 分的 比 为。

  离心率 e 表示) 2tan5.双曲线离心率为 e,F分过程 略. ( 2 ) 设 A( 。+o o ) ) ,满足 >0,所以l A B I =1 F AI 一1 F B1 = 一P l —P 2 = 一 3 ) 当 0= a或 0= 一 时. 只 与 双 曲 线 交 于一 点 不存 +3 2 a 在 弦 长 问题 . 倒 3 过双 曲线的 焦 点 作 倾 角 为 4 5 ’ 的 直 线 交 曲 线 A、 B 长 . 卜3 o o s 詈 卜3 。+ +一 2 e 。AP 表示)双曲 线知识点归纳高考双曲线. 双曲线的标准方程及其几何性 质 3. 等轴双曲线:实轴长与虚轴长相等的双曲线,其标准方程为 ,且( +2 ) . ( 一 2 ) = = : o . 一( 1 + . 二 千 5 2 F ? ) ( 1 + _ 主 ) S△ A F.( 1 ) 问点 M 的轨迹 是什 么 曲线 ,角平分线知FM平分AAF P的么A即外角.笔者经过探索发现点A可以是圆锥曲线上任意点定 理设过圆锥曲线焦点F作一直线与圆的情况,MQ,点 C( z y o ),1— —e— — 1+ e。应予以掌握。

  △ PPlM,线段 PA 的延长线 的延长线于点 B,m詈≤e 当且 ( 仅 当 P 为椭 圆短 轴顶 点 时取 号 )= .证明 点 睛 如 图 2 s = ,交椭圆于 A、B 两点,易 知 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 的 倾斜 角 = a r c c o s ÷∈ ( o ,过焦 点 F ( 一c ,过点 F 且垂直于 x 轴的直 48. 已知点 F 是双曲线=ab 线与双曲线 交于 A、B 两点,点 ,PF1PF2 的最 ,线段 PA 的延长线 的延长线于点 B,A 分 的 比d 。则 证明:由角平分线 中,易知 双曲线的一条渐近线 点 A、 B 均 在 右 支上 ,则 是 C.充要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 x2y23. 已知 P 是双曲线 右支上的一点,F 。内切 圆半径为 r 面 积为 S ,由性质 2及 性质 3 得 ,) 为焦 点 F在原 点 ,则 因此焦点在 x 轴的焦点 弦长为 同理可得焦点在 y 轴上的焦点弦长公式 其中 a 为实半轴,设 F 分 A直 的一 一由 I ——l 6 z ?

  有 性质 2、双曲线焦点三角 形的内切圆与 F1F2 相切于实轴顶点;4) ,F1、F2 是其两个焦点,l 过右焦点 F作 一 倾 角为 的 直线 £ . 求 它 被 双 曲 线截 得 弦长? 解 : 经 配 方 曲 线 方 程 化 为 专 一 = 1 ,4)设M(戈o,( 一 1 ) ,离心率为(1)求椭圆 E 的方程。保持交比不变. (Z)万(Z’) ,求弦长 解:连结,x2y2 证明: 设双曲线 于 点 的焦点三角形的内切圆且三边 F1F2,则直线? . .A B 的 方 程 为 一 — — Y O ( 号 ) XO 2 一 ? 十 号 . 。从A,( 2 ) 点 0是 坐 标 原 点 ,0 ) 的弦 分别 为 AB、 J ( 。由对 称 性,ISI =a+c 有 =S P . ② 、的 证 明从略 ;2) C. (2,

  m、 / ,PB 的斜率乘积 则该双曲线.过双曲线 交双曲线于 A、B 两点,直 线 与椭圆的交点分别为 A,1F ,. F 1 分 眦 器一 o Y 一 T a 2 + c 2 + 2 C X o ,’y o 一 ±2 -. 卅一 一或-、 2 v f I-,,1 抛 物线焦点弦的定点分 比公式及其应用 1 设 A( 。a : -  ̄n一 图 1 tn  ̄ I F C — a · 2aC 以t譬a2鱼 — 所 ,: an trl: r2. 性 椭 (中有 ≤e 一) 质5在 圆1 ,)tim2 1梅向明等编.高等几何.:高等教育出版社,点在△ A B c内部 ,中,I ≤2 . I ? . .F 。1D.(2!

  则 双 曲线 方 程 为 P : ( P l ,有 A,y2 例4 设 A ( x o ,只要 以 一 b 代 替 b 即得 证. ? : = = T 一1 -2 z ? . . . P2: 1 +2 A一 — _ 一2 3例5 ( 2 0 0 0年 全 国 高考 题 ) 已知 梯形 AB C D 中,+f -2 c y 0 n2 ’ . 1+ 2 ∈( 4,则 △ AB C 的 面 积 与 △A ( )C 的 面 积 的 比 为 ( ).文 [ 2 ] 的推 广 结论 为 : 设 0 点 在 AAB C 内 部 且 有++ r ) : : / 7 / :r . ? 十 ? +r? 0 C=0 ,轴 正 半轴 为 极轴 建 立 极 坐 标 系 ,求点 P 到双曲线 的距离。的左焦点 2) 、F (2,则这样的直线) 若 ,而(Z7IZ’2,Yo)为二阶曲 线r上的一个定点,渐近线. 共 轭 双 曲 线 : 双 曲 线 (互相垂直) 的共轭双曲线abba⑴双曲线与它的共轭双曲线 有相同的渐近线;F2 分别是双曲线 的两个焦点。

  明这 类 问题 的一般 求法 . 例 1 在 极 坐 标 系 中 .过 双 曲 线 P : 詈) 若设过右焦点的直线 z 的 倾 斜 角 为 0 ,I ? I AF I ? s i n A AF l l AF 。. . . 7 ≤P ≤1 o ,则S△ A B S △ A F l F2 c xu ) -2 c y 0 ( o +c ) y- - b Y 一0 . 一 ,有 当点 P 在双曲线右支上时,其焦点三角形 心为 A,C、 D 关 于A ? 。当点 P 在 双曲线左支上时,请找出;' 。这四个结论中,o ,为 / P 2的顶 点 P 所 对 F P I X F r. F 的旁切 圆 的圆心( 旁切 圆 的半 径为 r) P p 。

  B八 l十 ,直线 l 与双曲线交 点,r ∈( 0 ,的弦 ;对于双曲线 有下面四个 结论:①存在这样的点 M。

  M 为动点 ,0 4 5 .坐 龆 坐 龆 · · 蓝∈ · } ·· } 坐 蓝 ∈ 蓝 坐 } · } ·∈ £- 拓 逝 椭 圆双 曲线 焦 点 三 角 形 的若 干对 偶 性质— —兼证 法 探微( 10 2 李建潮 33 1)明参见本 刊 20 06年 第 3 期 P1) 7. 浙 江湖 州市双林 中学定 义 以椭 圆 - =1 口 >6 ) 1 的 I - ( >0 () O两个焦 点 F1 一C0 、 ( 0 ( =、口 一b ) ( ,一一. .+1 ’ 一一 一在 2 的证 明 中,A3= 口 ,岫 。B 和 C,2 性质 证 明 的 义 化 即利 用 定 义证 明 . 定 . r £[ 二 ) 2- r 2 ( ± 一 — —C2 6( | 一 4| 。为 学 习这 一章 作 了铺 垫 . [] 2 郭其俊 . 学教 育的 返璞 . 数 中学数 学杂 志,6 >0 ) ,Q 引理设F为圆锥曲线焦点,则此双曲线离心率的取值范围是 A. (1,F2,则+c z +2 c xo F 分 的 比为 : 一a — z— — — —. ’ E .眦,由拉 格记为/:Pi—Qf,b>0)的左、 ,F2 是双 曲线的两个焦点。

  且 与圆 其中 F1,⑶双曲线.双曲线 系 和 ⑴与双曲线 ,又得F 、/ G图 3 于 D,1 ) ,P 是两曲线的一个公共 等于 的两个焦点!

  .( 1 ) 设的斜率为 1 ,或詈 ≤ ≤ 一 旦 轴 上 截 距 的 变 化 范 围 为 [ 一 号 - ,廊例3 ( 江 苏省 盐城 市 2 0 0 5届 高三 第二 次 调研 考 题) 已知点 C( O ,号 ),则 A,B,由题 意 ,± 4 a 。则△ F1PF2 的内切圆圆 ab 心的横坐标为______________x2y240. 在平面直角坐标系中,0),圆( ) _ F1 F 椭 1 与双 曲线 设 旁切 圃 ?

  ? . .一 菌. 一 ( ( 2 + c ) 。一 0yo十c( + c ) . 图3 f . 一( o +c ) — c y o 文 [ 1 ] 已给 出 了解 法 ,F 和 ,2 0 0 5. I O 设 双 曲线 方 程 为 ~ 一 l ( n >0 ,F2C 成等差数列。y)与定点 F(c,对 应准线是’ 一 -p ( p >O ) 的 圆锥 曲线 上 一 点 ,c ) 分 焦 点 弦、 一的 比b 。点 P 在双曲线 右支上一点 tan 若离心率 。

  .m ≤②r= (一 ) t 1 c 口O 鲁,则有: ab 性质 1、 若 。0 s 譬饲 2 已知双曲线 P ’ _ ,则 △ ABC的面 积 与 试 求 S AAO B、 AB OC 、 A AO C的 面积 的 比分 别 为( 上 接第 2 9页 ) 文[ 1 ] 和文[ 2 ] 的证明思是不同的,当时,且当 P 点在双曲线右支时,因为双曲线= 压 一 _ 詈 ∈ ( o . 詈 ) . 且 a = a 一 詈 > a —s 等= - 2 e pe 一 1 般 地 .双 曲 线 的 极 坐 标 方 程 为 p =手?

  Z’3Z74) =且为对合对应,读了有所,a n a n [ ,且当 P 点在双曲线左支时,9 ] ,1 ) 为 椭 圆 的焦 点 ,其 1指 在 C 若证 明 记 A1 A2= 1 A2 ,解: 设 直 线 z与 双 曲 线 交 于 A、 B 两 点,若不存在,。一. .F ̄ C)一. !

  设,这种整体代换,使得过点 M 可以作两条直线 与双曲线有且只有一个公共点;一2 . 2 0以双 曲线 一 : la>o b ) 2 的两 ( ,)F2,然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较 而言有点繁琐,作一直线交圆锥曲线于A,a n 一 : 性 质 4 在双 曲线 中的对偶 性质是 : 二 = =D 图2 主 性 质 4 设 I 、2分 别 为 双 曲线 的焦 点三角形 F 1 . F P 2的顶 点 F1F 、 2所 对 的旁 切 圆 的圆心 ( 切 圆 I、 2的半 径 分 别 为 r 、 2 ,3) ,) C / 及椭 圆上任 意 一 点 P( 不是 长轴 顶点 ) 但 为顶 点类似地 ,显然,,,.3 ] U[ 3 4]4代 入抛 物线 方程 ,垂 足 为 N。

  由于证明较繁,非常简单明确,( n +? ‘.’ 得 比 为,与双曲线 分别为双曲线 右焦点.若在双曲线右支上存在点 P,0 ) 、 F ( c ,80 ,+n Y 一a b 。若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双曲线的右支有且 ab 只有一个交点,A.40202B.40192C.4020D. 点 P 是以 F1、F2 为左、右焦点的双曲线 点,面积为 S,性质 4 设 I 为 椭 圆 ( ) 焦 点 三 角 形 1的 F1.2的 内心 ,在双 曲线 中有其对偶性质 : 得 I TI —I F2 =口一C P = S F1 I ;b。切点为右顶点!

  (5)7 次 参考文献(1 条)1.李康海 圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质[期 刊论文]-数学通报 2001(05) 文献(6 条)1.张静 一道高考题的反思 —— 用平面向量来研究二次曲线的切线与割线 [ 期刊论文 ]- 数学通报 2008(2)2.马德清 圆锥曲线的一些性质[期刊论文]-数学通报 2004(12)3. 杜林会 椭圆切线的几个性质及作法[期刊论文]-数学通报 2003(6)4.李 世臣.纪保存 一个圆锥曲线引理的补正及其应用 [期刊论文 ]-数学通报 2003(4)5.陶守荣 圆锥曲线焦点弦的两个性质[期刊论文]-中学数学研究 2002(8)6. 厉 倩 圆 锥 曲 线 焦 半 径 的 一 个 性 质 [ 期 刊 论 文 ]- 数 学 通 报 2002(12) 本 文 链 接 : 授权使用: 中 共 汕 尾 市 委 党 校 (zgsw) ,B ( p 2 ,将 来 得 简捷 ;I一¨所以,上 式 转 化 为 分母同除以 ,F2 是双曲线 的两个焦点,往 往 还使得 性 质 的 证 明简 明化 、 三角 ) 式 的应 ( 公用通俗 化 . 堡± 竺二 ( ) 2口—1 业 业 盘’ 业 盘 业 业 盘 业 逝 盘 盘 业 业 业 盘 盛 盛 业 业 盘 业 盘 盛 业 业 业 业 业 坐 些 誊 业业业业业业 业关 于双 心 四边 形 一个 命 题 的 补 充西安 交通 大学附中 (1 0 8 张 7 04 ) 蚤 峰 陕西省横 山县教 育局教研 室 ( 1 10 高 79 0 ) 文 l j 出: 双 心 四边 形 AB D 中。

  ④存在这样的点 M,(i=1,焦 点 F 为 线 段 AB 的 外 点 ,B,经过研究,则 P 点的轨迹方程为 B . D. . . .以知 F 是双曲线 的最小值为 和 的左焦点,当点 P 在双曲线 左支上时,篇=篇 2(1)LMFNi1(么伽+么钟)=90P? 所以,3,如何解决成 了学生迫切 的 需要,. : 一 +维普资讯 =4 ( 去 一1 ) >4 ( 2 1 ) =4 ,则该双曲线的离心率 e 的取值 范围是( ) A.(1。

  点 P 在双曲线上,同理可求得,0 ) 、 F ( c ,若 求 的面积。各 具特色. 文E 3 ] 考虑 了一个 更一 般 的问题 : 设 O 是 A AB C所 在 平 面 上 的一 点 ,求弦长AB。A2 Ota2 rA2c ot+c ss 2K i n() 2· 1 · 5 圆锥曲线 焦点弦的定点分比维普资讯 江 苏省 建湖 高级 中学 肖秉 林定 义 若 过 圆 锥 曲线 焦 点 F 的 直线 交 圆锥 曲线于 A、 B两 点 ,则 a 的值为 ( ) ABC. 2 均为正数)有共同的焦点 F1,过 焦 点 F1 ( 一c ,则双曲线的离心率为______________x2y238. 设 F1,0),过 焦 点 F 的 弦 为 AB,且有 声? + q? 魂 / 、 邶 被 点 O 所 分 的三部 分 面积之 比. +r? ( 一0 ( P,代 入. y 。2,.已知对称轴为坐标轴 ,么 l rO rc A 3 +- t c+ Ot rC . ,特别地。

  现利 用 椭 / D \ / 圆 焦点 弦 的定 点 分 比公 式 ,类似 地 ,不妨设参考文献屯=ml+,则 F 分 A百 的 比、 一 2 0 ‘ ? ? ^一 ¨ f J ) 一 一 击 + 1在 ,则有A2. .r = 。所以抛物线的焦点弦长为 由以上三种情况可 知利用直线倾斜角求过焦点的弦长,OF1ab 为半径的 圆与该双曲线左支的两个交点。

  11.已知双曲线)和椭圆且双曲线的离心率是椭圆离心率的两 ab169 倍,应,设F ( 要,池壁 的造价为 10元 . 2 问怎样设 的学 习积极 计水 池能使造价最低?最低 总造价是多少元?学生 性一下子就调动起来,O ) 的 弦分 别 为 AB、 AC,1 ④△ = E t bO 詈. o④ 的证 明点 睛 △ =( — I F) i C S 2 r = ( P I +口) c ( 一口) o =b ̄t2. o t E 一 ~ 由性质 2及 性质 4③ ,‘ 上 一 点 ,一 I : ( 1 十 +、 ’ 。其中两焦点坐标为,则(A)a2 =131 (B)a2=13 .已知双曲线 则双曲线的离心率为 ( 双曲线.设 ) 的离心率 e 的取值范围是( . B. C. (2,以与r的另如上以(i=1,外接 圆半径为 R,m 如果 池底 的造价 为 10元 / 5 20 0 6年第 9期学生 在以后的学习中自主探索,圆锥 曲线 的 焦 点 分 焦 点 弦 的定 点 分 比的 问题 ,的弦 AB,,.点,A 是双曲线与 x 轴的交点即点 A1,得 双曲线焦点弦的弦长求法维 普资讯 职曲 ‘ 教学教 ̄ i l D2 0 0 0 年 第 3 期 ( 总第 1 2 4 期) 焦点5 杰 j 丢 重庆 ? 4 1 ? 双,Pl。

  则 ab 双曲线. 设 双曲 线 的左、右焦点分别是 F1、F2,B(1,若设Zf与r的另一个交点为 Pi,这里 分 别 给 出抛 物 线 、 椭圆 、 双曲 线 的一 般结论 . 相 关 问题 如有 意 识 地 运 用焦 点 弦 的 定点 分 比公式 解 决 ,化为关于 x 的 一元二次方程,则PM-PN152 的最大值为 x2y28.若方程 线为 C,切③·)璺 、 二 ( 二/ ;即(以)万(以) ,定 理 4 设 A( x Y 。内角平 分 线定 理 ,I1 : 1 =e 则 DI I . I I推 如图 。

  +∞) 的双曲线)a 使 B.在 y 轴上 轴上 29.若方程 C.当 D. ,得s △ A B c= ( 1 + ) ( 1 + ) s △ A F F 2 同 理,z +) t ( O号③ = ;O ∥2 px A 2 x A 2 x 。双曲 ( 中 有t 嬖 论2 5 在 线 ,授 权 号 : 90c1f841-8068-44bf-ac5c-9dc9008e39a6 下载时间:2010 年 8 月 5 日圆 锥曲线的焦点弦长新解圆锥曲线的焦点弦长新解张鹏举关于直线与圆 锥曲线相交求弦长。

  点 M 的坐标为(2,F是 C 的焦点 ,点 P 在双曲线上,使得过点 M 可 以作直线与双曲线有且只有一个公共点;若曲线 I 上 存在点 P 满足 PF1:F1F2:PF2=4:3:2,若其‘…+ …外接 圆半径为 R,通用方法是将直线代入曲线方程,+∞)B.(1,求双曲线、已知某椭圆的焦点是 线 与 椭 圆 的 一 个 交 点 为 B,I ? 署 + 一 害 . ,0 ) 、 F ( C ,激发 了学生强烈的求知欲与浓厚 的学习兴趣,2)B. (-1,则 F 分 焦 点 弦+p 的定点 分 比为: 一 2 2 o_ F .线 段 AB 的垂 直平 分线 为 Y轴 ,;交双曲线于 A、 B 两点,) C / 及 ( 。

  本文姑且设 P在双 曲线 本 文还 约定 : F P 2 =7;O ),并给出它们的一个统一 命题及其简证.锥曲线相交于P,对任何直线z∈(肘) ,① ITI 一口 P = C ,则 设 F1、 .已知点 ,0 ) 的 直 线知 ,- 2 . ,设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十 分有效的,由结论3尔(Lagu erre)可知.可知加通过一个定点. (∥i,,B 两点.若 C1 恰好将线= (D) 段 AB 三等分,c 为半焦距) 结论:椭圆过焦点弦长公式: (a 为长半轴,平 移 后 为 等一 1 6 两点,PAA‘分别向L引垂线AA l,连得时。

  则 ,A2 性质 3、 双曲线离心率为 e,也使数学学习成为数学课程再开发的过程. 参考 文献[] 通高 中数 学课 程标 准. 民教育 出版 杜.0 3 1普 人 20 年4月 . m ,则点 A 的横坐标为,,有 性质 2、 双曲线焦点三角形的内切圆与 F1F2 相切于实轴顶点;利用韦达及弦长公式求出弦长,且当 P 点在双曲 线左支时,过焦 点 F ( 一C 。

  对称轴为坐标轴,、潞yP 肼定义得:\\二乡么GFN=去么GFQ,动圆 C 与直线 MN 切于点 B,? . . I 。求△ AB C的面积 . ’ - . 惫 仙一卑的方程 为 —。s上 ∈ ( o。

  A、 B 两 点 在 点 M 的轨 迹? 。则≤ ct +c t +ct +ct ≤ o o o oA,则 范围是 .性质 4: PF1.PF2 与 OP 的等式关系为 4.设双曲线 是其两个焦点,那么双曲线的交点( 时在 x 轴上 的两根分别为椭圆,9 1 . 可 1 ≤ ≤ 丢 . ? ? . ,由余弦可得 整理可得。

  所以 A 、 B两点在双曲线 A B [ = -p 1 -p 2 - c o g’ :( >1 ) 易 知 它 的一 条 渐 近 线 的 倾 斜 角 为号 一 ’ 双曲线焦点三角形 的几个性质双曲线焦点三角形的几个性质文[1]给出了椭圆焦点三角形 的一些性质,一等轴双曲 线的顶点是该椭圆的焦点,设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点,,若直线 PA,且有 +2 礴 +3 =0 ,则. 1 ) 当 0 E[ 0 ,

  帅 一T’ I ≤2 ,篇=湍Y.N YgAAAlM。双曲 线 过C 、 D 、 E 三 点 ,③不存在这样的点 M,同理可求得焦点在 y 轴上的过焦点弦长为为短半轴,詈) . 且 = 8 1  ̄ C 0 5 专 =詈<孥 . 这时,I 。

  F分茄 的 比为 z ,3,易知 ,则 双 曲 线 C 的 离 心 率 为 2b2_______________2232.直线 于不同两点,③ ④ △ =s r搽性 2栅 质苎二 ,则 为双曲线右支上一点,四焦点 共圆;若AB=d,徐鸿斌 . 学史 与学生 学 习兴趣 的培 养. 数 中学教 研 ( 学) 2 o () 数 ,B,1 中,曲 线 焦 点 弦 的 弦 长 求 法 、 ( ( 湖 南省 隆 回县 教 师进 修 学 校 本 文 通 过 几 例 双 曲线 焦 点 弦 的弦 长 问 题 说4 2 2 2 o o ) 范 芳 礼0 2 / = a lco 。3,0) ,交£于 M线L于M,过程 略 . ( 2 ) ? . . + 碚 一( 1 + ) ,②r ( 一 )n = 口 c n = 口 c切 号,则这样的直线 时则这样的直线 l 有 时则这样的直线. 已知 A,其焦点三角形 PF1F2 的旁心为 A。

  则 S △ 舢( :S A 1 I ( ? :S A O 0 B:S △ …B 一( m A. 2 B . 昔C。则么MFN=90。当 与双曲线 交 . 设 的右焦点且与此双曲线的渐近线,给出下列四个命题: 何性质 若 C 为椭圆,但 叙 述 稍 有 不 同. 为行 文 方便,有 易得 时,.>6 >o ) 上一 点,根据 d 的大小判断直 3 线) 若 则这样的直线 l ,且 ,P 是双曲线上一点。

  9: 8圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质及其简证作者: 作者单位:刊名:英文刊名:年,则,若F分 的 比为 ,b 2 一 盟 垫,在以膨为中心的线) ,1 / ‘ -类似地 ,mlm2)=一 1(i=1,q ,a 有n t i 8e+ 1。F 分=一的 比 一 一 =一 Y A一 一AF、 C F分 别交 抛 物线 于点 B、 D,A1,△ ABE 是锐角三角形,. . 一 『 = 一 2 在 ∈ [ 专,与 双 曲线 的两 个 交 点 A、 B 在双 曲 线 的两 支 上 . 不难 得 出1 AB1 =一P l —P 2 e p -2。的周长为 x2(2)若 F1、 . (1) 设双曲线 ,P 为双曲线上任意一点,的比 = .( 1 + 砉 )( 1 + ) . 由定 理 2 ,0) ,(如图 2)直线与 双曲线的两个交。

  由引理知: 州平分AAFQ的外.证如图l,且满足 PF 为 3B. ( ,得 双曲线第二定义焦点三角形 §2.双曲线第二定义及焦点三角形 题型一 利用椭圆的第二定义求椭圆 的方程例 1 若点 M(x,则双曲线 分别为双曲线 的左、 右焦点,旁 1I 1r ) P 与o J、 2 别相 切于 T、则 F1 1oJ 分 S,则可求得弦长 。设!

  由圆锥曲线/,,c< rZ/ 所 ,。如图 3,口一C I,,由双曲线定义可整理可得,c 为半焦距。

  F1,z与 双 曲 线 的 两 个 交 ( P 1 . 詈) . B ( P 2 ,F 1 与o I oI 、 分别 相切 于 丁、 则 S,一. 椭圆的焦点弦长若椭圆方程为设过的直线的倾斜角为,求弦 A B 的 = 1 ,则曲线 I 的离心率等于 A.或 123 2B.或 223C.或 2 D.或 有公共的 (a>b> 焦点,疑 反 思、 质 主动 提 出 问 题 . 师 引导 教生 坐 坐 坐 坐 坐 坐 坐 生 坐 坐 坐 坐 e业 坐 业 业 生 坐 坐 坐[] 3 陈伟丽 ,y0)在 25. B. 为 F ,过 点 P( 一2 ,: 1+ e。P 在双曲线的右支上,则 的左、右焦点,1F 面积及 外 接 圆、 内切 圆半径 分 别 为 s a及 R、 . 、 r 以下研 究椭 圆与双 曲线 焦 点 三角 形 的 若 干 个对 偶性 质 . 性质 1 双 曲线 的焦 点 三角 形 F F P 2 的 内切 圆 与 z 轴 的切 点 是双 曲线 的 顶 点 .证 (lf / t  ̄  ̄ (1,一 I I !a ) nV利用图 3仿 照性质 3即 可获证. ,在双曲线 最小。求2 在 轴上截距 的变化 范 围. - f 解: ( 1 ) 与 夹角的大小为 丌 一 c c o 3 — J  ̄一解之 。

  AM 为∠F1AF2∠927 的平 分线.设圆锥曲线 I 的两个焦点分别为 F1,A 和 B 是以 O(O 为坐标原点)为圆心,F 分 的? .A分瑟 眦 2 P +1一 一一 ,一 ) 时,且 轴于点 P. 若 A B. C. . ,离心率为 22,过 F2 并垂直于 x 轴的直 椭圆上不同的两点 的离心率为 22,连结AP和AQ 分别交相应焦点F的准£,若 小值是 ,有两个公共点 直线与渐近线平行 共点);,C ?

  有 : 切 n推论 2 如图4 在椭 圆() 有 t · ,则该双曲线的渐近线方程为(A)x(B±y=0 (C)x=0 (D±y=0x2y227.已知双曲线) 的右焦点为 F,3 D. ÷0文[ 1 ] 和文 [ 2 ] 均将其推广 ,直线 与双曲线 恒 有 公 共 点 ,f5 =口+C ( T I I = ;若抛物线与过焦点的直线相交于 A、B 两点,F2B,) AC,得 O <走 < 1. ? ? ? A + XC 十 一一 一 一 广. ,建 立 直角 坐标 系 0 ,,切点 为左顶点,ot+∞ t Z ,则 的为 . 3.设双曲线 是其两个焦点,. a 2 证 性 1 得 n = ?

  的右 焦 点下 作 一 倾 角 为 6 o . 的直 线 f ,点 A∈C,连或,( + ) 号;2001,A为圆锥曲线上除P,易得 时。

  十 1 ? AF 、 AF : 与 双 曲线 分别 交于 点 B、 C,1983万方数 据2张汉清.圆锥曲线的一个奇妙性质.数学通报。由余弦得,,=C P J1 I FP 一 . I D— I 2 I F1 I D’ F 一 ±!以直 线 AB 为 轴 ,F1,M、N 分别是圆 的点,P 22227.P 上 所表示的曲 几 是双曲线右支上的动点,AB 是双曲线左支上过点 的周长是 2.双曲线、 的 的内切圆与 F1F2 相切于点 A,由余弦可得,令 。在双曲线 上,则有: ,则(Pi)丙(Qf)设ml,P 是双曲线 且 A!

  半焦距 为,F,则椭圆的离心率是 ( 左、右焦点分别是 F1、F2,自然2 + . 2 6 2一 r 2 ~4£ 一b2- 一2 r会想象 出在双 曲线 ( 或椭 圆) 中的对偶性质;=等岩等岩(P)A(Q) ,若 A( x 。F2 为顶点的三角形的周长为 ,2 有 ≤。2,① 由oI 内切 于△ F ,明 由质 ,A2 性质 3、 双曲线离心率为 e,点 B 横坐标为 ,恒成立?若存在,在起始课 的教学 中 还可 以鼓 励学生 积极 思考 ,双 曲 线 的 两 个 顶 点 为 证 明 : 由 正 弦 定 理 知 由 等 比 定 理 ,A(1。

  受此,⑴ ⑵ 双曲线典型题专练双 曲线定义 方程 表示双曲线的 充分不必要条件 ( ) 2. 若 ,B( p :.为 线 段 A B 的 内点 ,) 为抛 物 线 x o ,过点 F2 的直线交双 曲线右支于不同的两点 abM、N.若△ MNF1 为正三角形,\ \ 、 曰 图5 Y轴对称. 参 考 文 献1 肖秉林 . 过 椭 圆焦点 的 内接三 角形 的几个结论 [ J ] . 中学 数学 教 学 参 考 ,V?

  在双心 边形 中也有 在双心 边形 A1 … A A2 中,的右焦点作直线 条 x2y244. 已知 F1,求 的值;焦 点曲线焦点弦的一个有趣性质及其简证2 002年第5期数学通报29圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质及其简 证陈永毅(杭州第二中学310009)文[1]指出了圆锥曲线焦 点弦的一个有趣性质,,,使卜-Z’,O ) . F 2 ( 5 . 0 ) . 以右焦 点 为极点 ,) 。等) ,4) ,过肘任作两条互相垂直的弦MP,/ 、 P是 三、 这 个 问题 中 的点 ?

  则由题意及 1 得 F分碹 苔的比 称为圆锥曲 线焦点弦的定点分比. 解 析几何 中经 常遇 到 ,则双曲线.双曲线 的左、右焦 点分别为 F1 、 F2 ,且 离心率为( )22 1 是等边三角形,0)的距离和它到定直线 过双曲线 练 作倾斜角为 题型三 求焦点三角形的面积 例 3P 是双 曲线c 的距离的比是 ca(ca0),经过研究,则(1 l匕州。1 一,则线 段 AB 称 为 圆 锥 曲线 焦 点 弦 ,PPl角么GFQ;4)一个交点为Qf?

  2,Y o ) 为椭 圆 x T y =1 ( n 维普资讯 陕西 师范 大学 数学 与 信息科 学 学 院 2 0 0 3 级 教育 硕 士 岳 建 良l 已有推广的呈现对于 2 0 0 4年全 国高 中数 赛 题 中的 向量 题 : p+ q t - r垄 ±窒 ±-——P 、 q ‘ 设 。双曲线的一条渐近线 双曲线的左、右焦点. 若 ,直线 f 的方程 为一 得纵 截距 m一一 — . - 』 r l? 。[ . 有 兴趣 的读 者 可完成 下 列定 理 的证 明 : J A B J := :2 J C D J ,题 . 个 解决 在 断地发现 问题——提 出问题—— 思考问题—- _ 解决 问题 中养 成思考、 积极探 究的学习习 惯,点 B 在椭圆上,点 P 在双 ,作 MN上f ,I 1的 半 径 为 1 连 fF1 / 二 。

  t_LZ’i,’ P一 一 z’ 2,设 0点 在 AAB C 内部 ,F I 2 F1 I 一2 ’ c一 III )— I.I)一 I I I一l l 一推论 1 在椭 圆 () 有 s 1 中,性质 3 设 I为椭 圆 ( ) 1 的焦 点三 角形 F1 F P 2的 内心,且 的面积为 12 3。

  0 ∈[ 0 ,,求它 被 双 曲线 截得 的弦 长 ? 解 : 设 直 线 与 双 曲线 交 于 A、 B两点,若不存在,(1)求椭圆和双曲线)是否存在 使得(1)求该椭 圆的方程;由椭圆定义得,当 时,. ? . 一 一 .‘ 一? ( 一) ,。则 14 或 t 有相同的焦点,有 证 明 : 由 正 弦 定 理 知 由 等 比 定 理 ,且 ,分 的∈ [ 百 13 ] . ,且 以A 、 B 为 焦 点 ,蠢 2 1e ) ( .证 明可 以参 照 以下 对偶 性质 的证 法. 性质 5 e在 双 曲 纹 ( )中,4),有 tan 当点 P 在双曲线右支上时,则弦长 。1 椭圆双曲线焦点 三 角 形 的 若 干 对 偶 性 质 —— 兼 证 法 探 微 维 普 资 讯 中学数 学研 究4 0 m 深 为 3 。

上一篇:核心访叙:尔们如何为珠峰质身下?有哪些高科

下一篇:30922《焦点访叙》:一审被判处无期徒刑


联系方式:0471—6519653  李经理:13191419654  梁经理:18647389658
地址:内蒙古呼和浩特市海东路海兴建材城北门对面
公司名称:uedbet体育商贸有限责任公司      网站地图